Additive Synthese¶

Jeder Klang lässt sich aus reinen Sinustönen zusammensetzen. Und ein Sinuston ist nichts anderes als eine Kreisbewegung, von der Seite angesehen. Hängt man Kreise aneinander, jeder mit eigener Größe und eigener Drehzahl, zeichnet die Spitze des letzten Kreises die Wellenform: aus lauter runden Kreisen entsteht ein eckiges Rechteck.

Das Aha-Erlebnis: Ein Dreieck oder Rechteck besteht aus Sinussen. Und im Spektrum sieht man jeden einzelnen Kreis als eigene Linie wieder. Auf dem MELOWEE-FPGA ist das keine Simulation: 64 solcher Sinus-Kreise existieren physisch als Schaltung und klingen aus dem Lautsprecher.

Wortherkunft¶

additiv: lateinisch addere „hinzufügen". Der Klang wird Teilton für Teilton aufgebaut. Das Gegenstück ist die subtraktive Synthese, die aus einem obertonreichen Signal wegfiltert. Synthese: griechisch sýnthesis „Zusammensetzung", aus syn- „zusammen" und thésis „das Setzen". Epizykel: griechisch epí „auf" + kýklos „Kreis", also „Kreis auf dem Kreis". Der Begriff stammt aus der antiken Astronomie: Ptolemäus erklärte die Planetenbahnen mit Kreisen, die auf Kreisen reiten. Dieselbe Mathematik wurde 1800 Jahre später bei Fourier zur Klangzerlegung. Die Astronomen haben, ohne es zu wissen, Bahnkurven in „Teiltöne" zerlegt.

Definition¶

\[ y(t) = \sum_{k=1}^{N} a_k \cdot \sin\!\bigl(2\pi \, r_k f_0 \, t\bigr) \]

Name	Symbol	Bereich	Bedeutung
Kreiszahl	\(N\)	1 … 64	wie viele Kreise (Teiltöne) klingen
Radius	\(a_k\)	0 … 1	Lautstärke-Anteil des Kreises \(k\). Die Summe darf 1 nicht übersteigen
Verhältnis	\(r_k\)	0 … ~1024	Drehzahl relativ zum Grundton, frei wählbar, nicht nur ganzzahlig
Grundton	\(f_0\)	z. B. 220 Hz	die gespielte Note

Bekannte Rezepte:

Klang	Verhältnisse \(r_k\)	Radien \(a_k\)
Sägezahn	\(1, 2, 3, \ldots\)	\(1/k\)
Rechteck	nur ungerade: \(1, 3, 5, \ldots\)	\(1/k\)
Dreieck (dem Ohr nach)	nur ungerade	\(1/k^2\)
Schwebung	zwei fast gleiche, z. B. \(1{,}000\) und \(1{,}002\)	gleich
Glocke	unharmonisch: \(1, 2{,}08, 3{,}24, \ldots\)	fallend

Kreise auf Kreisen¶

Oben die Epizykel-Kette: Jeder Kreis dreht sich mit seinem Verhältnis, die Spitze des letzten zeichnet die Welle nach rechts. Unten das Spektrum: Dieser Kreis ist diese Linie, in derselben Farbe. Die Farbe ist die Tonklasse, Oktaven teilen die Farbe.

Beobachte

Kreise hochdrehen beim Rechteck: Mehr Kreise geben steilere Flanken bei gleicher Lautstärke. Das Zappeln an den Kanten heißt Gibbs-Überschwinger und bleibt bei jeder endlichen Kreiszahl.
Exponent x in \(a_k = 1/k^x\): Bei \(x = 1\) Rechteck, stufenlos nach \(x = 2\) Dreieck. Du hörst und siehst die Klangfarbe kippen.
Schwebung: Zwei Zeiger laufen langsam auseinander und zeigen abwechselnd in dieselbe und in entgegengesetzte Richtung. Der Ton pumpt.
Ton an: Web Audio spielt jeden Kreis als eigenen Oszillator, alle gleichzeitig gestartet. Die Rampe bei Reglerbewegung ist 1,3 ms wie in der Hardware.

Live-Modus

Mit einem MELOWEE-Gerät wird Roll zum Exponenten x: Kippen macht den Klang weicher oder schärfer. Die Tasten 1 bis 5 schalten die Vorlagen um.

Was das Ohr hört und was das Auge sieht¶

Auf dem FPGA starten alle Kreise beim Winkel 0, es gibt keinen Phasen-Regler je Kreis. Folge: Das Rechteck stimmt auch als gezeichnete Form exakt, denn seine Reihe ist von Natur aus komplett positiv. Das echte Dreieck bräuchte alternierende Vorzeichen \((+, -, +, -)\) und ist nur „dem Ohr nach" baubar.

Das ist die Lektion: Das Ohr hört das Betragsspektrum, die Phasen sieht nur das Auge in der Wellenform. Probiere im Widget den Schalter „Phasen: ± Vorzeichen" beim Dreieck. Die gezeichnete Kurve wird zum echten Dreieck, der Klang bleibt derselbe.

So rechnet die Hardware¶

Ein einziges Rechenwerk bedient alle 64 Kreise im Zeitmultiplex: Bei 24,576 MHz und 48 kHz Samplerate stehen 512 Takte je Sample zur Verfügung, ein Kreis kostet einen Takt. Je Kreis läuft ein 32-bit-Phasenzähler, der Sinus kommt aus einer interpolierten Tabelle, Audio ist 24 bit.

Drei Vereinfachungen, und genau die sind der Lernstoff:

Alle Kreise starten bei 0, siehe oben.
Kreise über der halben Samplerate werden stummgeschaltet (Nyquist), sonst entstünden Geisterfrequenzen. Das Widget tut dasselbe.
Amplitudenänderungen werden gerampt (\(\tau \approx 1{,}3\) ms), damit ein Reglersprung nicht knackt.

Die Verhältnisse sind wirklich frei, nicht ans Obertonraster gebunden. Im Beispiel mit 1,0 und 2,5 liegt das Raster gemessen 91 dB darunter.

Hörbeispiele vom echten Gerät¶

Beispiel	Was du hörst
	Ein Kreis, Verhältnis 2,0: ein reiner Sinuston exakt eine Oktave über der gespielten Note. Gemessen 440,03 Hz bei Note 220 Hz, das sind +0,11 Cent.
	Zwei Kreise, 1,0 und 2,5: unharmonisch, klingt „metallisch". Das Verhältnis ist frei.
	Drei Kreise, 1,0 / 1,5 / 2,0, live aus der Browser-GUI ans Board geschickt.

Die Epizykel-GUI des additive-Workers — Die Browser-GUI am Gerät: Epizykel-Etage oben, Spektrum mit farbigen Markern unten, Kanalzug rechts. Das Widget hier ist ihre reduzierte Fassung.

Zusammenfassung¶

Aspekt	Details
Prinzip	Klang = Summe von Sinustönen mit Verhältnis \(r_k\) und Radius \(a_k\)
Zeitbild	Kreise auf Kreisen, die Spitze zeichnet die Welle
Frequenzbild	Jeder Kreis eine Linie im Spektrum
Rechteck	nur ungerade Teiltöne, \(1/k\)
Dreieck	nur ungerade, \(1/k^2\), für die Form alternierende Vorzeichen
Lektion	Das Ohr hört Beträge, die Phasen sieht nur das Auge
Hardware	64 Kreise, ein Takt pro Kreis, Nyquist-Stummschaltung, 1,3 ms Rampe

Quiz¶

Verbindungen¶

graph LR
    S[Sinus] --> A[Additive Synthese]
    U[Einheitskreis] --> A
    F[Frequenz] --> A
    Am[Amplitude] --> A
    A --> W[Welle]
    A --> P[Phase]
    A --> T[Ton & Frequenz]
    A --> Sa[Die schwingende Saite]
    click S "/fundamentals/mathematics/sine/" _self
    click U "/fundamentals/geometry/unit-circle/" _self
    click F "/fundamentals/signal/frequency/" _self
    click Am "/fundamentals/signal/amplitude/" _self
    click W "/fundamentals/physics/wave/" _self
    click P "/fundamentals/signal/phase/" _self
    click T "/fundamentals/music/tone-frequency/" _self
    click Sa "/fundamentals/physics/string-vibration/" _self
    style A fill:#e91e63,stroke:#f48fb1,color:#fff

Verbindung	Beziehung
Sinus, Einheitskreis	Jeder Kreis ist ein Sinus, die Kreisbewegung von der Seite gesehen
Frequenz, Amplitude	Verhältnis und Radius jedes Kreises
Phase	Alle Kreise starten bei 0. Die Phase sieht das Auge, nicht das Ohr
Ton & Frequenz	Der Grundton \(f_0\) ist die gespielte Note
Die schwingende Saite	Ihre Obertöne sind genau solche Kreise, nur entstehen sie dort von selbst