Pi (\(\pi\))

Pi (\(\pi \approx 3{,}14159\)) ist das Verhaeltnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises -- eine universelle Konstante, die in der gesamten Mathematik, Physik und Signalverarbeitung auftaucht. Ohne Pi gibt es keine Radiant, keine Periode, keine Schwingung.

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Wortherkunft

Das Symbol \(\pi\) wurde 1706 von William Jones eingefuehrt und geht auf den griechischen Buchstaben Pi zurueck -- den Anfang von periphereia (περιφέρεια, "Umfang"). Leonhard Euler machte das Symbol ab 1737 populaer.

Schon die Babylonier (~1900 v. Chr.) naeheitn Pi mit \(\frac{25}{8} = 3{,}125\) an. Archimedes (~250 v. Chr.) grenzte den Wert zwischen \(\frac{223}{71}\) und \(\frac{22}{7}\) ein.

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Definition

Pi ist definiert als das Verhaeltnis des Umfangs \(U\) eines Kreises zu seinem Durchmesser \(d\):

\[\pi = \frac{U}{d} = \frac{U}{2r}\]

Daraus folgt:

\[U = 2\pi r \qquad A = \pi r^2\]

Wichtige Eigenschaften

Eigenschaft	Wert
Naeherungswert	3,14159 26535 89793...
Typ	Irrational (nicht als Bruch darstellbar)
Transzendent	Ja (keine Nullstelle eines Polynoms)
Bruch-Naeherung	\(\frac{22}{7} \approx 3{,}1429\)
Bessere Naeherung	\(\frac{355}{113} \approx 3{,}1415929\)

Pi und Radiant

Der Radiant (Bogenmass) basiert direkt auf Pi:

\[\text{volle Drehung} = 2\pi \text{ rad} = 360°\]

\[\text{halbe Drehung} = \pi \text{ rad} = 180°\]

Deshalb taucht \(\pi\) in der Periodendauer jeder Sinusfunktion auf:

\[f(x) = \sin(x) \quad \text{hat Periode } 2\pi\]

Pi in der Signalverarbeitung

In der Welt von Audio und Schwingungen ist Pi allgegenwaertig:

• Kreisfrequenz: \(\omega = 2\pi f\) (Frequenz \(f\) in Hz)
• Sinuswelle: \(y(t) = A \cdot \sin(2\pi f t + \varphi)\)
• Fourier-Transformation: \(\hat{f}(\omega) = \int f(t) \, e^{-2\pi i \omega t} \, dt\)

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Beispiel

Umfang eines Kreises

Radius \(r = 5\) cm:

\[U = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \approx 31{,}416 \text{ cm}\]

Pi und Frequenz

Ein Ton mit 440 Hz (Kammerton A) hat die Kreisfrequenz:

\[\omega = 2\pi \cdot 440 \approx 2764{,}6 \text{ rad/s}\]

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Interaktiv

Sieh zu, wie ein Kreis abrollt und dabei genau \(\pi \cdot d\) Strecke zuruecklegt.

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Zusammenfassung

Eigenschaft	Wert
Definition	\(\pi = \frac{\text{Umfang}}{\text{Durchmesser}}\)
Wert	\(\approx 3{,}14159\)
Umfang	\(U = 2\pi r\)
Kreisflaeche	\(A = \pi r^2\)
Volle Drehung	\(2\pi\) rad = 360°
Kreisfrequenz	\(\omega = 2\pi f\)

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Quiz

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Verbindungen

graph LR
    P[Pi] --> E[Einheitskreis]
    P --> S[Sinus]
    P --> C[Kosinus]
    P --> W[Winkel]
    P --> Fr[Frequenz]
    click E "/fundamentals/geometry/unit-circle/" _self
    click S "/fundamentals/mathematics/sine/" _self
    click C "/fundamentals/mathematics/cosine/" _self
    click W "/fundamentals/geometry/angle/" _self
    click Fr "/graph/#node=frequency" _self
    click P "/fundamentals/mathematics/pi/" _self
    style P fill:#9B5DE5,stroke:#c49bff,color:#fff

Verbindung	Beziehung
Pi → Einheitskreis	Halber Umfang des Einheitskreises = \(\pi\)
Pi → Winkel	Grundlage des Bogenmasses (\(180° = \pi\))
Pi → Sinus	Periode der Sinusfunktion = \(2\pi\)
Pi → Kosinus	Periode der Kosinusfunktion = \(2\pi\)
Pi → Frequenz	Kreisfrequenz \(\omega = 2\pi f\)