Dreieck¶

Das Dreieck ist die einfachste Figur, die eine Flaeche einschliesst. Besonders das rechtwinklige Dreieck ist die geometrische Grundlage der Trigonometrie: Hier werden Sinus, Kosinus und Tangens als Seitenverhaeltnisse definiert.

Wortherkunft¶

Dreieck -- drei Ecken. Das englische triangle kommt vom lateinischen triangulum (tres = drei, angulus = Winkel). Die Griechen nannten es trigonon (τρίγωνον) -- daher stammt auch Trigonometrie: die "Vermessung von Dreiecken".

Definition¶

Ein Dreieck hat:

3 Seiten (\(a\), \(b\), \(c\))
3 Winkel (\(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\))
Innenwinkelsumme immer 180°: \(\alpha + \beta + \gamma = 180°\)

Dreiecksarten nach Seiten¶

Art	Eigenschaft
Gleichseitig	\(a = b = c\), alle Winkel 60°
Gleichschenklig	Zwei Seiten gleich
Ungleichseitig	Alle Seiten verschieden

Dreiecksarten nach Winkeln¶

Art	Eigenschaft
Spitzwinklig	Alle Winkel < 90°
Rechtwinklig	Ein Winkel = 90°
Stumpfwinklig	Ein Winkel > 90°

Das rechtwinklige Dreieck¶

Im rechtwinkligen Dreieck (\(\gamma = 90°\)) heissen die Seiten:

Hypotenuse (\(c\)): Die laengste Seite, gegenueber dem rechten Winkel
Ankathete: Die Seite neben dem betrachteten Winkel
Gegenkathete: Die Seite gegenueber dem betrachteten Winkel

Satz des Pythagoras¶

Fuer jedes rechtwinklige Dreieck gilt:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

wobei \(c\) die Hypotenuse ist.

Trigonometrische Verhaeltnisse¶

Fuer einen Winkel \(\alpha\) im rechtwinkligen Dreieck:

\[\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c}\]

\[\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c}\]

\[\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{a}{b}\]

Beispiel¶

Pythagoras anwenden

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten \(a = 3\) und \(b = 4\). Wie lang ist die Hypotenuse?

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Seite mit Trigonometrie berechnen

Gegeben: Hypotenuse \(c = 10\), Winkel \(\alpha = 30°\). Wie lang ist die Gegenkathete?

\[a = c \cdot \sin(30°) = 10 \cdot 0{,}5 = 5\]

Interaktiv¶

Ziehe die Ecken des Dreiecks und beobachte, wie sich Seiten, Winkel und die trigonometrischen Verhaeltnisse aendern.

Zusammenfassung¶

Eigenschaft	Wert
Innenwinkelsumme	180°
Pythagoras	\(a^2 + b^2 = c^2\)
Sinus	Gegenkathete / Hypotenuse
Kosinus	Ankathete / Hypotenuse
Tangens	Gegenkathete / Ankathete
Flaeche	\(\frac{1}{2} \cdot a \cdot b\) (bei rechtwinkligem Dreieck)

Quiz¶

Verbindungen¶

graph LR
    A[Winkel] --> D[Dreieck]
    D --> S[Sinus]
    D --> C[Kosinus]
    D --> T[Tangens]
    D --> Py[Pythagoras]
    click A "/fundamentals/geometry/angle/" _self
    click S "/fundamentals/mathematics/sine/" _self
    click C "/fundamentals/mathematics/cosine/" _self
    click T "/fundamentals/mathematics/tangent/" _self
    click D "/fundamentals/geometry/triangle/" _self
    style D fill:#00bfa5,stroke:#64ffda,color:#fff

Verbindung	Beziehung
Winkel → Dreieck	Dreiecke bestehen aus drei Winkeln
Dreieck → Sinus	\(\sin = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\)
Dreieck → Kosinus	\(\cos = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\)
Dreieck → Tangens	\(\tan = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\)