Kosinus¶

Der Kosinus ist der „Bruder" des Sinus – er beschreibt das Verhältnis von Ankathete zur Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck. Am Einheitskreis ist er die x-Koordinate des rotierenden Punktes. Sinus und Kosinus zusammen bilden die Grundlage aller Schwingungen und Wellen.

Wortherkunft¶

Das Wort Kosinus ist eine Abkürzung und hat einen überraschend einfachen Ursprung:

Latein – complementi sinus = „Sinus des Komplementwinkels"
- Der Kosinus eines Winkels ist nichts anderes als der Sinus des Komplementwinkels (90° − α).
- \(\cos(\alpha) = \sin(90° - \alpha)\)
Kurzform – co. sinus → cosinus
- Der englische Mathematiker Edmund Gunter (1620) kürzte complementi sinus zu co.sinus ab.
- Daraus wurde im Laufe der Zeit das heutige Wort Kosinus.

Merkhilfe

Cosinus = Complement-Sinus. Der Kosinus ist der Sinus des Partnerwinkels, der zusammen mit α genau 90° ergibt.

Definition¶

Im rechtwinkligen Dreieck¶

In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel \(\alpha\):

\[ \cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \]

Am Einheitskreis¶

Ein Punkt \(P\) bewegt sich auf dem Einheitskreis (Radius = 1). Der Kosinus ist die x-Koordinate von \(P\):

\[ P(\alpha) = \big(\cos(\alpha),\; \sin(\alpha)\big) \]

Beziehung zum Sinus¶

\[ \cos(\alpha) = \sin(90° - \alpha) = \sin\!\left(\alpha + 90°\right) \]

Allgemeine Kosinusfunktion¶

\[ f(t) = A \cdot \cos(2\pi f \cdot t + \varphi) \]

Parameter	Bedeutung	Einheit
\(A\)	Amplitude – maximale Auslenkung	abhängig vom Kontext
\(f\)	Frequenz – Schwingungen pro Sekunde	Hertz (Hz)
\(t\)	Zeit	Sekunden (s)
\(\varphi\)	Phase – Startverschiebung	Radiant (rad)

Beispiel¶

Aufgabe: Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse von 10 cm und einen Winkel von 60°. Wie lang ist die Ankathete?

Lösung:

\[ \cos(60°) = \frac{\text{Ankathete}}{10\,\text{cm}} \]

\[ \text{Ankathete} = 10 \cdot \cos(60°) = 10 \cdot 0{,}5 = 5\,\text{cm} \]

Merkwerte

Winkel	\(\cos\)
0°	1
30°	\(\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\)
45°	\(\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\)
60°	0,5
90°	0

Kosinuskurve erkunden¶

Fahre mit der Maus über die Kurve, um Winkel und Kosinuswert an jeder Stelle abzulesen.

Beobachte

Bei 0° startet die Kurve beim Maximum (+1) – das unterscheidet sie vom Sinus!
Bei 90° und 270° kreuzt sie die Nulllinie
Bei 180° erreicht sie das Minimum (−1)
Der Kosinus ist ein um 90° nach links verschobener Sinus

Visualisierung¶

Was du siehst:

Links: Ein Punkt rotiert auf dem Einheitskreis. Die türkise Linie zeigt den Kosinus (x-Koordinate).
Rechts: Die x-Werte werden über die Zeit aufgetragen → die Kosinuskurve entsteht.

Interaktion

Vergleiche mit dem Sinus: Der Kosinus startet bei 1 (oben), der Sinus bei 0. Sie sind um 90° versetzt.

Zusammenfassung¶

Aspekt	Details
Was	Verhältnis Ankathete/Hypotenuse; x-Koordinate am Einheitskreis
Woher	Latein complementi sinus → cosinus
Formel	\(\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\)
Wertebereich	\([-1, 1]\)
Periode	\(2\pi\) (360°)
Startwert	\(\cos(0°) = 1\) (beginnt beim Maximum)
Anwendung	Phasenverschiebung, Projektion, Wechselstrom

Quiz¶

Verbindungen¶

graph LR
    A[Winkel] --> C[Kosinus]
    E[Einheitskreis] --> C
    S[Sinus] --> C
    C --> T[Tangens]
    C --> W[Welle]
    W --> F[Frequenz]
    W --> Am[Amplitude]
    click A "/graph/#node=angle" _self
    click E "/graph/#node=unit-circle" _self
    click S "/fundamentals/mathematics/sine/" _self
    click T "/fundamentals/mathematics/tangent/" _self
    click W "/graph/#node=wave" _self
    click F "/graph/#node=frequency" _self
    click Am "/graph/#node=amplitude" _self
    click C "/fundamentals/mathematics/cosine/" _self
    style C fill:#7c4dff,stroke:#b388ff,color:#fff

Verbindung	Beziehung
Winkel → Kosinus	Der Kosinus braucht einen Winkel als Eingabe
Einheitskreis → Kosinus	Der Kosinus wird definiert am Einheitskreis
Sinus → Kosinus	\(\cos(\alpha) = \sin(90° - \alpha)\) – Komplementbeziehung
Kosinus → Tangens	\(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\)
Kosinus → Welle	Beschreibt phasenverschobene Schwingungen