Zum Inhalt

Winkel

Ein Winkel entsteht, wenn zwei Strahlen (Schenkel) von einem gemeinsamen Punkt (Scheitel) ausgehen. Winkel messen, wie weit sich etwas dreht -- sie sind die Eingabe fuer jede trigonometrische Funktion und damit die Grundlage fuer Schwingungen, Wellen und Signalverarbeitung.

Wortherkunft

Das Wort Winkel kommt vom althochdeutschen winkil ("Ecke, Biegung"). Im Englischen angle stammt es vom lateinischen angulus ("Ecke"), verwandt mit dem griechischen ankos ("Biegung").

Definition

Ein Winkel beschreibt die Drehung zwischen zwei Strahlen um einen gemeinsamen Scheitelpunkt.

Masseinheiten

Eine volle Drehung = 360°

  • Rechter Winkel: 90°
  • Gestreckter Winkel: 180°
  • Voller Winkel: 360°
\[\alpha = 45°, \quad \beta = 90°, \quad \gamma = 180°\]

Eine volle Drehung = \(2\pi\) rad

Der Radiant ist definiert ueber den Einheitskreis: ein Winkel von 1 rad schneidet einen Bogen der Laenge 1 auf einem Kreis mit Radius 1.

\[\alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}\]
Grad Radiant
0° 0
30° \(\frac{\pi}{6}\)
45° \(\frac{\pi}{4}\)
60° \(\frac{\pi}{3}\)
90° \(\frac{\pi}{2}\)
180° \(\pi\)
360° \(2\pi\)

Winkelarten

Art Bereich Beispiel
Spitzer Winkel \(0° < \alpha < 90°\) 45°
Rechter Winkel \(\alpha = 90°\) Ecke eines Blatts
Stumpfer Winkel \(90° < \alpha < 180°\) 120°
Gestreckter Winkel \(\alpha = 180°\) Gerade Linie
Ueberstumpfer Winkel \(180° < \alpha < 360°\) 270°
Vollwinkel \(\alpha = 360°\) Volle Drehung

Beispiel

Umrechnung Grad in Radiant

Wandle 135° in Radiant um:

\[135° \cdot \frac{\pi}{180°} = \frac{135\pi}{180} = \frac{3\pi}{4} \approx 2{,}356 \text{ rad}\]

Umrechnung Radiant in Grad

Wandle \(\frac{\pi}{6}\) rad in Grad um:

\[\frac{\pi}{6} \cdot \frac{180°}{\pi} = 30°\]

Interaktiv

Ziehe den Punkt auf dem Kreis, um den Winkel zu aendern. Beobachte, wie sich Grad und Radiant gleichzeitig aendern.

Zusammenfassung

Eigenschaft Wert
Definition Drehung zwischen zwei Strahlen
Masseinheit Grad (°) oder Radiant (rad)
Volle Drehung 360° = \(2\pi\) rad
Umrechnung \(\text{rad} = \text{deg} \cdot \frac{\pi}{180}\)
Rechter Winkel 90° = \(\frac{\pi}{2}\)

Quiz

Verbindungen

graph LR
    W[Winkel] --> E[Einheitskreis]
    W --> D[Dreieck]
    W --> S[Sinus]
    W --> C[Kosinus]
    W --> T[Tangens]
    click E "/fundamentals/geometry/unit-circle/" _self
    click D "/fundamentals/geometry/triangle/" _self
    click S "/fundamentals/mathematics/sine/" _self
    click C "/fundamentals/mathematics/cosine/" _self
    click T "/fundamentals/mathematics/tangent/" _self
    click W "/fundamentals/geometry/angle/" _self
    style W fill:#00bfa5,stroke:#64ffda,color:#fff
Verbindung Beziehung
Winkel → Einheitskreis Winkel werden am Einheitskreis gemessen
Winkel → Dreieck Innenwinkelsumme = 180°
Winkel → Sinus sin braucht einen Winkel als Eingabe
Winkel → Kosinus cos braucht einen Winkel als Eingabe
Winkel → Tangens tan braucht einen Winkel als Eingabe