Tangens¶

Der Tangens verbindet Sinus und Kosinus zu einer einzigen Funktion. Er beschreibt das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete – also die Steigung der Hypotenuse. Überall wo es um Neigungen, Steigungen und Winkelmaße geht, ist der Tangens im Spiel.

Wortherkunft¶

Das Wort Tangens kommt direkt aus dem Lateinischen:

Latein – tangens = „berührend" (Partizip von tangere = „berühren")
- Eine Tangente ist eine Linie, die einen Kreis in genau einem Punkt berührt.
- Der Tangens-Wert entspricht der Länge des Tangentenabschnitts am Einheitskreis.
Historischer Kontext
- Der dänische Mathematiker Thomas Fincke führte 1583 den Begriff tangens ein.
- Zuvor nannten arabische Mathematiker dieselbe Funktion ẓill (ظل) = „Schatten" – weil man mit Schattenlängen Winkel berechnete (Sonnenuhr!).

Merkhilfe

Tangens = Berührung. Stell dir eine Linie vor, die den Einheitskreis berührt – die Länge vom Berührpunkt bis zur x-Achse ist der Tangenswert.

Definition¶

Im rechtwinkligen Dreieck¶

In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel \(\alpha\):

\[ \tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \]

Als Verhältnis von Sinus und Kosinus¶

\[ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \]

Achtung

Bei \(\alpha = 90°\) und \(\alpha = 270°\) ist \(\cos(\alpha) = 0\), daher ist der Tangens dort nicht definiert (Division durch Null). Die Kurve hat an diesen Stellen Polstellen (Asymptoten).

Am Einheitskreis¶

Am Einheitskreis ist der Tangens die Strecke auf der Tangentenlinie am Punkt \((1, 0)\):

\[ \tan(\alpha) = \frac{y\text{-Koordinate}}{x\text{-Koordinate}} = \text{Steigung des Radius} \]

Eigenschaft	Wert
Wertebereich	\((-\infty, +\infty)\)
Periode	\(\pi\) (180°)
Nullstellen	0°, 180°, 360°, …
Polstellen	90°, 270°, …

Beispiel¶

Aufgabe: Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Ankathete von 8 cm und einen Winkel von 45°. Wie lang ist die Gegenkathete?

Lösung:

\[ \tan(45°) = \frac{\text{Gegenkathete}}{8\,\text{cm}} \]

\[ \text{Gegenkathete} = 8 \cdot \tan(45°) = 8 \cdot 1 = 8\,\text{cm} \]

Merkwerte

Winkel	\(\tan\)
0°	0
30°	\(\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\)
45°	1
60°	\(\sqrt{3} \approx 1{,}732\)
90°	nicht definiert (→ ∞)

Tangenskurve erkunden¶

Fahre mit der Maus über die Kurve, um Winkel und Tangenswert an jeder Stelle abzulesen.

Beobachte

Bei 0° und 180° kreuzt die Kurve die Nulllinie
Bei 45° ist der Wert genau 1 (Gegenkathete = Ankathete)
Bei 90° und 270° gibt es Polstellen – die Kurve „springt" von +∞ zu −∞
Die Periode ist nur 180° (halb so lang wie beim Sinus!)

Visualisierung¶

Was du siehst:

Links: Ein Punkt rotiert auf dem Einheitskreis. Die orange Linie zeigt den Tangens als Strecke auf der Tangentenlinie.
Rechts: Die Tangenswerte werden über die Zeit aufgetragen → die Tangenskurve mit ihren Polstellen entsteht.

Interaktion

Beobachte, wie der Tangens bei 90° ins Unendliche schießt – die Tangentenlinie wird parallel zum Radius!

Zusammenfassung¶

Aspekt	Details
Was	Verhältnis Gegenkathete/Ankathete; Steigung des Radius am Einheitskreis
Woher	Latein tangens = „berührend" (Tangentenlinie am Kreis)
Formel	\(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\)
Wertebereich	\((-\infty, +\infty)\)
Periode	\(\pi\) (180°)
Besonderheit	Polstellen bei 90°, 270°, … (dort nicht definiert)
Anwendung	Steigungsberechnung, Vermessung, Optik, Navigation

Quiz¶

Verbindungen¶

graph LR
    S[Sinus] --> T[Tangens]
    C[Kosinus] --> T
    A[Winkel] --> T
    E[Einheitskreis] --> T
    T --> St[Steigung]
    T --> Ve[Vermessung]
    click S "/fundamentals/mathematics/sine/" _self
    click C "/fundamentals/mathematics/cosine/" _self
    click A "/graph/#node=angle" _self
    click E "/graph/#node=unit-circle" _self
    click T "/fundamentals/mathematics/tangent/" _self
    style T fill:#7c4dff,stroke:#b388ff,color:#fff

Verbindung	Beziehung
Sinus → Tangens	\(\tan = \frac{\sin}{\cos}\) – Zähler
Kosinus → Tangens	\(\tan = \frac{\sin}{\cos}\) – Nenner
Winkel → Tangens	Der Tangens braucht einen Winkel als Eingabe
Einheitskreis → Tangens	Geometrische Definition als Tangentenstrecke
Tangens → Steigung	Jede Geradensteigung ist ein Tangenswert