Einheitskreis

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1 um den Koordinatenursprung. Er ist das zentrale Werkzeug der Trigonometrie: Jeder Punkt auf dem Kreis liefert direkt die Werte von Sinus und Kosinus fuer den zugehoerigen Winkel.

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Wortherkunft

Einheitskreis bedeutet woertlich "Kreis der Einheit" -- ein Kreis mit dem Radius 1 (der "Einheit"). Im Englischen unit circle, im Lateinischen geht er auf die geometrischen Konstruktionen von Euler und Bernoulli zurueck.

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Definition

Der Einheitskreis ist die Menge aller Punkte \((x, y)\) mit Abstand 1 vom Ursprung:

\[x^2 + y^2 = 1\]

Fuer einen Winkel \(\alpha\) (gemessen von der positiven x-Achse gegen den Uhrzeigersinn) liegt der zugehoerige Punkt bei:

\[P(\alpha) = (\cos\alpha,\; \sin\alpha)\]

Das bedeutet:

• Die x-Koordinate ist der Kosinus
• Die y-Koordinate ist der Sinus

Wichtige Punkte

Winkel	Grad	Punkt \((x, y)\)	\(\cos\)	\(\sin\)
\(0\)	0°	\((1, 0)\)	1	0
\(\frac{\pi}{6}\)	30°	\((\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})\)	0.866	0.5
\(\frac{\pi}{4}\)	45°	\((\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\)	0.707	0.707
\(\frac{\pi}{3}\)	60°	\((\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})\)	0.5	0.866
\(\frac{\pi}{2}\)	90°	\((0, 1)\)	0	1
\(\pi\)	180°	\((-1, 0)\)	-1	0
\(\frac{3\pi}{2}\)	270°	\((0, -1)\)	0	-1

Quadranten

Quadrant	Winkelbereich	\(\cos\)	\(\sin\)
I	0° -- 90°	+	+
II	90° -- 180°	-	+
III	180° -- 270°	-	-
IV	270° -- 360°	+	-

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Beispiel

Punkt bei 60° ablesen

Bei \(\alpha = 60° = \frac{\pi}{3}\):

\[\cos(60°) = \frac{1}{2} = 0{,}5$$ $$\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\]

Der Punkt auf dem Einheitskreis ist also \((\frac{1}{2},\; \frac{\sqrt{3}}{2})\).

Pythagoras am Einheitskreis

Fuer jeden Punkt auf dem Einheitskreis gilt:

\[\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1\]

Das ist der trigonometrische Pythagoras -- er folgt direkt aus \(x^2 + y^2 = 1\).

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Interaktiv

Bewege den Punkt auf dem Einheitskreis und beobachte, wie sich Sinus (y) und Kosinus (x) aendern.

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Zusammenfassung

Eigenschaft	Wert
Definition	Kreis mit Radius 1 um den Ursprung
Gleichung	\(x^2 + y^2 = 1\)
Punkt bei Winkel \(\alpha\)	\((\cos\alpha, \sin\alpha)\)
x-Koordinate	\(\cos(\alpha)\)
y-Koordinate	\(\sin(\alpha)\)
Fundamentale Identitaet	\(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1\)

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Quiz

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Verbindungen

graph LR
    A[Winkel] --> E[Einheitskreis]
    E --> S[Sinus]
    E --> C[Kosinus]
    E --> T[Tangens]
    P[Pi] --> E
    click A "/fundamentals/geometry/angle/" _self
    click S "/fundamentals/mathematics/sine/" _self
    click C "/fundamentals/mathematics/cosine/" _self
    click T "/fundamentals/mathematics/tangent/" _self
    click P "/fundamentals/mathematics/pi/" _self
    click E "/fundamentals/geometry/unit-circle/" _self
    style E fill:#00bfa5,stroke:#64ffda,color:#fff

Verbindung	Beziehung
Winkel → Einheitskreis	Winkel werden am Einheitskreis abgetragen
Einheitskreis → Sinus	y-Koordinate = sin(α)
Einheitskreis → Kosinus	x-Koordinate = cos(α)
Einheitskreis → Tangens	Tangentenstrecke = tan(α)
Pi → Einheitskreis	Halber Umfang = π