Synchronisation¶

Viele Dinge schwingen jedes für sich in seinem eigenen Tempo: Glühwürmchen, Metronome auf einem Brett, Zellen im Herz. Sobald sie sich gegenseitig auch nur ein bisschen spüren, passiert etwas Verblüffendes: ab einer bestimmten Stärke der Kopplung kippen sie plötzlich alle in denselben Takt. Nicht langsam, sondern wie ein Schalter. Vorher Chaos, dahinter ein einziger Rhythmus.

Das ist ein Phasenübergang, dieselbe Art Sprung wie Wasser, das bei 0 °C zu Eis wird. Bei uns schwingen 64 Töne. Man hört den Sprung als Übergang von Rauschen zu einem klaren Ton und sieht ihn als 64 Punkte auf einem Kreis, die sich zu einem einzigen zusammenziehen.

Wortherkunft¶

synchron: griechisch syn „zusammen" + chrónos „Zeit", also „zur gleichen Zeit". Kuramoto: Yoshiki Kuramoto, japanischer Physiker, der das Modell 1975 aufschrieb, um genau diesen Sprung mit einer Formel zu fassen. Phase: griechisch phásis „Erscheinung", wie bei den Mondphasen: welcher Teil des Umlaufs gerade zu sehen ist.

Definition¶

Jeder Schwinger \(i\) hat einen Winkel \(\theta_i\) (seine Phase, wo er auf dem Kreis steht) und eine Wunschgeschwindigkeit \(\omega_i\). Jeder zieht jeden:

\[ \dot\theta_i = \omega_i + \frac{K}{N}\sum_{j=1}^{N}\sin(\theta_j - \theta_i) \]

Der Sinus ist die ganze Physik: steht \(j\) vor mir, ist \(\sin(\theta_j-\theta_i)>0\) und ich werde schneller. Steht er hinter mir, werde ich langsamer.

Wie einig sich der Schwarm ist, misst der Ordnungsparameter \(r\): der Betrag des Mittelwerts aller Zeiger auf dem Einheitskreis.

\[ r\,e^{i\psi} = \frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N} e^{i\theta_j} \]

\(r = 0\): gleichmäßig verstreut, die Zeiger heben sich auf. \(r = 1\): alle am selben Ort. Mit \(r\) und \(\psi\) wird die Summe oben zu einem einzigen Term. Jeder Schwinger spürt nur den Mittelwert aller anderen:

\[ \dot\theta_i = \omega_i + K\,r\,\sin(\psi - \theta_i) \]

Das ist die Mean-Field-Form, und sie erklärt den Schalter: Ist \(r\) klein, ist die Kraft \(Kr\) klein, niemand wird eingefangen, \(r\) bleibt klein. Ist \(r\) groß, ist die Kraft groß, alle werden eingefangen, \(r\) bleibt groß. Zwei Zustände, die sich selbst erhalten. Dazwischen liegt die kritische Kopplung \(K_c\), an der es kippt.

Name	Symbol	Bereich	Bedeutung
Phase	\(\theta_i\)	\(0 \ldots 2\pi\)	wo Schwinger \(i\) auf dem Kreis steht
Wunschfrequenz	\(\omega_i\)	um \(2\pi f_0\) herum	wie schnell er allein liefe
Streuung	spread	\(\geq 0\)	wie verschieden die \(\omega_i\) sind
Kopplung	\(K\)	\(\geq 0\)	wie stark jeder jeden zieht, der Regler
Ordnung	\(r\)	\(0 \ldots 1\)	Einigkeit des Schwarms (gemessen, nicht gesetzt)
Mittelphase	\(\psi\)	\(0 \ldots 2\pi\)	wo der Schwerpunkt aller Zeiger steht
kritische Kopplung	\(K_c\)	\(\approx 4{,}4 \cdot\) Streuung in Hz (gemessen)	die Schwelle des Sprungs

Der Schwarm auf dem Kreis¶

Links der Kreis mit 64 Punkten und einem Pfeil in der Mitte: seine Länge ist \(r\), seine Richtung \(\psi\). Rechts zeichnet sich die r-gegen-K-Kurve auf, während du den Regler bewegst.

Beobachte

K = 0: Die Punkte laufen gleichmäßig verteilt, der Pfeil ist winzig und zittert.
K hochdrehen: Erst bildet sich ein Klumpen, der Pfeil wächst. Ab \(K_c\) zieht sich alles zu einem Punkt zusammen.
Streuung ändern: Sie verschiebt \(K_c\). Die Schwelle ist proportional zur Streuung, am Gerät gemessen \(K_c \approx 4{,}4 \cdot\) Streuung in Hz (gestrichelte Linie). Bei Streuung 0 reicht jedes \(K > 0\).
Kurve: flach, dann der Sprung, dann Sättigung bei 1. Das ist das Bild des Phasenübergangs. In der Schwelle selbst schwankt \(r\) stark, auch am echten Gerät. Dort ist \(r\) ein Zufallsprozess.
Streifen unten: \(r\) über die letzten 20 Sekunden. Nach „Reset“ starten alle Phasen bei 0 wie im FPGA.

Live-Modus

Mit einem MELOWEE-Gerät wird die Neigung nach vorn zur Kopplung K. Du spürst mit der Hand, dass die Schwelle scharf ist: ein paar Grad Neigung sind der Unterschied zwischen Nebel und Ton.

Die Falle: gleichmäßige Abstände¶

Die Wunschfrequenzen im Widget und auf dem Gerät sind absichtlich „primzahlig" verteilt: die Gewichte sind \(\pm 3, 5, 7, 11, \ldots, 251\). Gleichmäßige Abstände wären ein Fehler: Dann kommen die freien Schwinger im Takt des kleinsten Frequenzabstands alle zugleich vorbei, ein Schein-Lock, das nichts mit Kopplung zu tun hat.

Probiere es aus: Schalte im Widget auf „Frequenzen: gleichmäßig", lass K auf 0 und schau auf den \(r(t)\)-Streifen. Bei 4 Hz Streuung springt \(r\) alle 8 Sekunden auf 1 und fällt wieder, obwohl niemand jemanden zieht. Auf dem Gerät bei voller Streuung ist das ein Pumpen mit 1,1 Hz, es klingt wie ein LFO. Genau in diese Falle ist die erste Fassung der Hardware gelaufen.

Ehrlich gesagt

Die Primzahlen beseitigen die Wiederkehr nicht, sie strecken sie nur. Alle Abstände sind ungerade Vielfache einer Grundeinheit, also fallen irgendwann doch alle zusammen: bei 4 Hz Streuung nach etwa 31 Sekunden statt 8, auf dem Gerät nach 3,5 s statt 0,9 s. Dazwischen bleibt \(r\) unregelmäßig unter 0,45. Ein echter Lock sieht anders aus: \(r\) bleibt oben, ohne zu pumpen.

So rechnet die Hardware¶

Auf dem MELOWEE-FPGA schwingen 64 Oszillatoren mit 48 000 Schritten pro Sekunde, ein Schritt pro Audio-Sample. Pro Sample:

Sammeln: \(S = \sum\sin\theta_j\) und \(C = \sum\cos\theta_j\), Sinus aus einer 256-Werte-Tabelle.
Schieben: jede Phase um \(\omega_i\) plus \(K\cdot(\ldots)\) weiter, wobei \(r\sin(\psi-\theta_i) = (S\cos\theta_i - C\sin\theta_i)/N\). Also kein Arkustangens, kein \(r\), nur zwei Multiplikationen mit den Summen. Die Mean-Field-Form braucht \(\psi\) gar nicht. Aufwand \(O(N)\) statt \(O(N^2)\), deshalb geht es in Echtzeit.
Ausgang: Der Ton ist \(S\) selbst, die Summe aller Sinus. Frei klingt das wie Rauschen, gelockt wie ein Sinus. Die Lautstärke steigt beim Einrasten um das ~10-fache.

Die Regler des Widgets sind in den Einheiten der Formel. Am Gerät ist \(K_{\text{fpga}} = K / 0{,}0719\) (0 bis 65 535) und die Streuung in Hz \(= 0{,}18 \cdot \text{spread}_{\text{fpga}}\).

Hörbeispiele vom echten Gerät¶

Beispiel	Was du hörst
	Lock-Sweep: K wird über ~10 s hochgefahren, aus Rauschen wird ein Ton bei 440 Hz. Der Lock landet exakt auf der Note, weil die Wunschfrequenzen symmetrisch verteilt sind.
	Atmen: ein langsamer LFO fährt K durch die Schwelle hin und her, der Schwarm „atmet" mit 2,7 s Periode.
	Simulation, Streuung 0: der Ton entsteht aus völliger Stille. Ohne Streuung ist die Schwelle null.

Zusammenfassung¶

Aspekt	Details
Modell	Kuramoto (1975): jeder Schwinger zieht jeden über den Sinus der Phasendifferenz
Regler	Kopplung \(K\)
Messgröße	Ordnung \(r\) zwischen 0 (verstreut) und 1 (ein Takt)
Kernaussage	Unter \(K_c\) bleibt \(r \approx 0\), darüber springt es. Ein Phasenübergang, kein gleitender Regler
Schwelle	\(K_c\) proportional zur Streuung der Wunschfrequenzen
Trick	Mean-Field: \(O(N)\) statt \(O(N^2)\), deshalb Echtzeit auf dem FPGA
Falle	Gleichmäßige Frequenzabstände erzeugen ein Schein-Lock ohne Kopplung

Quiz¶

Verbindungen¶

graph LR
    U[Einheitskreis] --> S[Synchronisation]
    P[Phase] --> S
    O[Schwingung] --> S
    F[Frequenz] --> S
    Si[Sinus] --> S
    S --> W[Welle]
    S --> A[Amplitude]
    S --> T[Ton & Frequenz]
    click U "/fundamentals/geometry/unit-circle/" _self
    click P "/fundamentals/signal/phase/" _self
    click O "/fundamentals/physics/oscillation/" _self
    click F "/fundamentals/signal/frequency/" _self
    click Si "/fundamentals/mathematics/sine/" _self
    click W "/fundamentals/physics/wave/" _self
    click A "/fundamentals/signal/amplitude/" _self
    click T "/fundamentals/music/tone-frequency/" _self
    style S fill:#00c853,stroke:#69f0ae,color:#fff

Verbindung	Beziehung
Einheitskreis, Phase	Jeder Schwinger ist ein Punkt auf dem Kreis, seine Phase der Winkel
Sinus	Die Kopplungskraft ist ein Sinus der Phasendifferenz
Frequenz, Schwingung	Die Wunschfrequenzen und ihre Streuung bestimmen die Schwelle
Welle, Amplitude	Die Summe \(S\) ist eine Welle, deren Amplitude beim Einrasten springt
Ton & Frequenz	Gelockt ist die Summe ein reiner Ton auf der Note \(f_0\)