Sinus¶

Der Sinus ist eine der fundamentalsten Funktionen der Mathematik. Er beschreibt das Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck – und gleichzeitig die Grundform jeder Schwingung und Welle in der Natur.

Wortherkunft¶

Das Wort Sinus hat eine faszinierende Reise durch drei Sprachen hinter sich:

Sanskrit – jyā (ज्या) = „Bogensehne"
- Indische Mathematiker (5. Jh.) nannten die halbe Sehne eines Kreisbogens ardha-jyā, abgekürzt jyā.
Arabisch – jayb (جيب) = „Tasche, Busen"
- Arabische Übersetzer übernahmen jyā als jiba. Da man im Arabischen nur Konsonanten schrieb (j-b), wurde es später als jayb gelesen – ein alltägliches Wort für „Gewandfalte" oder „Busen".
Latein – sinus = „Busen, Biegung, Falte"
- Der italienische Übersetzer Gerhard von Cremona (12. Jh.) übersetzte jayb wörtlich als sinus.

Merkhilfe

Sinus kommt von „Bogensehne" – und genau das ist er: die Projektion einer Sehne auf dem Einheitskreis.

Definition¶

Im rechtwinkligen Dreieck¶

In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel \(\alpha\):

\[ \sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \]

Am Einheitskreis¶

Ein Punkt \(P\) bewegt sich auf dem Einheitskreis (Radius = 1). Der Sinus ist die y-Koordinate von \(P\):

\[ P(\alpha) = \big(\cos(\alpha),\; \sin(\alpha)\big) \]

Allgemeine Sinusfunktion¶

\[ f(t) = A \cdot \sin(2\pi f \cdot t + \varphi) \]

Parameter	Bedeutung	Einheit
\(A\)	Amplitude – maximale Auslenkung	abhängig vom Kontext
\(f\)	Frequenz – Schwingungen pro Sekunde	Hertz (Hz)
\(t\)	Zeit	Sekunden (s)
\(\varphi\)	Phase – Startverschiebung	Radiant (rad)

Beispiel¶

Aufgabe: Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse von 10 cm und einen Winkel von 30°. Wie lang ist die Gegenkathete?

Lösung:

\[ \sin(30°) = \frac{\text{Gegenkathete}}{10\,\text{cm}} \]

\[ \text{Gegenkathete} = 10 \cdot \sin(30°) = 10 \cdot 0{,}5 = 5\,\text{cm} \]

Merkwerte

Winkel	\(\sin\)
0°	0
30°	0,5
45°	\(\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\)
60°	\(\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\)
90°	1

Sinuskurve erkunden¶

Fahre mit der Maus über die Kurve, um Winkel und Sinuswert an jeder Stelle abzulesen.

Beobachte

Bei 0° und 180° kreuzt die Kurve die Nulllinie
Bei 90° erreicht sie das Maximum (+1)
Bei 270° das Minimum (−1)
Die Kurve ist symmetrisch und wiederholt sich alle 360°

Visualisierung¶

Was du siehst:

Links: Ein Punkt rotiert auf dem Einheitskreis. Die gelbe Linie zeigt den Sinus (y-Koordinate).
Rechts: Die y-Werte werden über die Zeit aufgetragen → die Sinuskurve entsteht.

Interaktion

Die Animation läuft automatisch. Beobachte, wie die Bewegung auf dem Kreis die Wellenform erzeugt.

Zusammenfassung¶

Aspekt	Details
Was	Verhältnis Gegenkathete/Hypotenuse; y-Koordinate am Einheitskreis
Woher	Sanskrit jyā → Arabisch jayb → Latein sinus
Formel	\(\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\)
Wertebereich	\([-1, 1]\)
Periode	\(2\pi\) (360°)
Anwendung	Akustik, Elektrotechnik, Physik, Signalverarbeitung

Verbindungen¶

graph LR
    A[Winkel] --> S[Sinus]
    E[Einheitskreis] --> S
    S --> C[Kosinus]
    S --> T[Tangens]
    S --> W[Welle]
    W --> F[Frequenz]
    W --> Am[Amplitude]
    W --> P[Phase]
    S --> Sch[Schwingung]
    click A "/graph/#node=angle" _self
    click E "/graph/#node=unit-circle" _self
    click C "/graph/#node=cosine" _self
    click T "/graph/#node=tangent" _self
    click W "/graph/#node=wave" _self
    click F "/graph/#node=frequency" _self
    click Am "/graph/#node=amplitude" _self
    click P "/graph/#node=phase" _self
    click Sch "/graph/#node=oscillation" _self
    click S "/fundamentals/mathematics/sine/" _self
    style S fill:#7c4dff,stroke:#b388ff,color:#fff

Verbindung	Beziehung
Winkel → Sinus	Der Sinus braucht einen Winkel als Eingabe
Einheitskreis → Sinus	Der Sinus wird definiert am Einheitskreis
Sinus → Kosinus	Phasenverschiebung: \(\cos(\alpha) = \sin(\alpha + 90°)\)
Sinus → Welle	Jede Welle kann als Summe von Sinusfunktionen dargestellt werden (Fourier)
Sinus → Schwingung	Beschreibt harmonische Schwingungen in der Physik